Bilinear Form $x^\top A y$ [medium]

v1 내적 은 $x \cdot y = \sum_i x_i y_i$. 더 일반적인 bilinear form 은 사이에 행렬 $A \in \mathbb R^{d \times d}$ 를 끼워 넣습니다:

$\langle x, y \rangle_A = x^\top A y = \sum_{i,j} x_i A_{ij} y_j$

어디에 쓰이나

• Mahalanobis-like similarity: $A = \Sigma^{-1}$ 로 두면 공분산 정규화된 유사도.
• Attention score: query $q$ 와 key $k$ 사이 $q^\top W_a k$ 형태 (additive attention 변형).
• Bilinear pooling (visual QA 등): 이미지 feature와 질문 feature 의 상호작용.
• Metric learning: $A$ 가 학습 가능한 거리/유사도 행렬.

구현 트릭

• x @ A @ y — 세 행렬 연쇄. 순서에 따라 비용이 다를 수 있지만 scalar 결과라 동일.
• 배치: X (N, d), Y (N, d) 의 per-sample bilinear = (X @ A * Y).sum(axis=1) — element-wise 후 합. $X @ A$ 는 (N, d), * Y 도 (N, d), sum → (N,).
• 루프 금지.

과제

함수 bilinear(X, A, Y) 를 완성하세요.

• X, Y shape (N, d), A shape (d, d).
• 반환: shape (N,) — 각 샘플의 $x_i^\top A y_i$.
• 힌트: (X @ A * Y).sum(axis=1).

테스트 케이스