Nuclear Norm + SVT [medium]

v1 엔트리별 L1 은 행렬 원소에 적용한 L1. Nuclear norm 은 특이값 (singular value) 에 적용한 L1:

$\|A\|_* = \sum_i \sigma_i = \text{tr}\!\left(\sqrt{A^\top A}\right)$

• 엔트리 L1 → 원소 sparsity (LASSO).
• Nuclear norm → rank sparsity (low-rank 유도) — 많은 $\sigma_i$ 가 0.

SVT (Singular Value Thresholding)

Nuclear norm 의 proximal operator. LASSO 의 soft-thresholding 을 SVD 공간 에서 적용:

U, s, Vt = svd(A)
s_soft = max(s - tau, 0)  # soft threshold
result = U @ diag(s_soft) @ Vt

이 연산은 low-rank matrix completion (Netflix 문제), video/image denoising 등에서 핵심.

용도

• Matrix completion: 결측치 있는 행렬을 rank 제약으로 복원.
• Robust PCA: 저랭크 + 희소 분해.
• Image denoising: 노이즈는 고주파 (작은 σ) → SVT 로 제거.

과제

함수 svt(A, tau) 를 완성하세요 — singular value thresholding. Nuclear norm 의 proximal operator:

$\text{SVT}_\tau(A) = U \, \text{diag}(\max(\sigma_i - \tau, 0)) \, V^\top$

• 반환: shape = A.shape.
• 동시에 반환된 행렬의 nuclear norm 과 원본의 nuclear norm 도 비교 가능.

테스트 케이스

#	이름	검증
1	shape 유지
2	tau=0 → 원본 복원	(수치 오차 내)
3	tau 증가 → rank 감소
4	tau > 최대 σ → 영행렬
5	nuclear norm(SVT(A)) ≤ ‖A‖_* - τ·rank(output)	축소 효과
6	대칭성: SVT(A).T == SVT(A.T)
7	sklearn 또는 수식과 일치