자동 k 선택: Variance Threshold [medium]

v1 비율 은 각 성분의 개별 비율. 실제 실무에서는:

"분산의 95% 를 보존하려면 몇 개 성분이 필요한가?"

이런 기준을 자동으로 찾는 게 자연스러움. sklearn PCA(n_components=0.95) 가 동일하게 동작.

알고리즘

1. $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots$ (내림차순 고유값).
2. 정규화 비율: $r_i = \lambda_i / \sum_j \lambda_j$.
3. 누적합: $C_k = \sum_{i=1}^{k} r_i$.
4. 최소 $k$ 반환:

$k^* = \min \{ k : C_k \ge \tau \}$

$\tau = 0.95$ 면 "분산 95% 를 설명하는 가장 작은 차원".

엣지 케이스

• 모든 분산이 첫 성분 → $k^* = 1$.
• 균등 분산 + 높은 threshold → $k^* \to D$.
• threshold 가 정확히 누적합 중 하나와 같으면 그 k.
• threshold = 1.0 → 전체 $D$ 반환.
• threshold > 1 → $k^* = D$ (capped).

과제

함수 auto_k_pca(X, variance_threshold) 를 완성하세요.

• X shape (N, D), variance_threshold ∈ [0, 1] (넘어도 D 로 capped).
• 반환: (k, cumulative) — k Python int, cumulative shape (D,) 전체 누적 비율 배열.
• 힌트: np.searchsorted(cumulative, threshold) + 1 로 가장 먼저 초과하는 인덱스.

테스트 케이스

#	이름	검증
1	반환 (int, (D,))
2	cumulative 단조 증가, 마지막 = 1
3	threshold=1.0 → k=D
4	threshold=0.0 → k=1
5	threshold=0.95 데이터에서 일관된 k
6	cumulative[k-1] >= threshold, cumulative[k-2] < threshold (중간)
7	강한 첫 성분 데이터: threshold=0.9 → k=1