Generic GD + Numerical Gradient [medium]

v1 GD 는 특정 파라볼라의 analytic 미분 을 손으로 넣음. 실전에선:

1. 임의 함수 $f$ 를 받아야 하고 (callable 인자).
2. 미분식을 알 수 없을 때 중심 차분 으로 근사: $f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$
3. 수렴 판정: $|f'(x)| < \text{tol}$ 이면 조기 종료.

중심 차분의 특성

• h 너무 작으면 반올림 오차 (cancellation) — 보통 h = 1e-5.
• h 너무 크면 절단 오차 (higher-order Taylor).
• 중심 차분은 앞차분보다 정확도 $O(h^2)$.

과제

함수 descend_generic(f, x0, lr, max_steps, tol, h=1e-5) 를 완성하세요.

• f: callable, scalar → scalar.
• x0: 시작점 (float).
• 반복: $x \leftarrow x - \eta \cdot f'_{num}(x)$.
• 조기 종료: $|f'(x)| \le \text{tol}$ 이면 루프 중단.
• 반환: (history, x_final, converged) where converged is bool.
• history 는 시작점 포함, 매 스텝의 $x$.

힌트:

def grad(x):
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

history = [x0]; x = x0
for _ in range(max_steps):
    g = grad(x)
    if abs(g) <= tol:
        return history, x, True
    x = x - lr * g
    history.append(x)
return history, x, False

테스트 케이스