그램 행렬 (Gram Matrix)

$N$ 개 벡터 $\{\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_N\}$ 사이의 모든 쌍별 내적을 담은 행렬. 커널 방법(SVM with kernels), Style Transfer, attention 의 기본 블록.

$G_{ij} = \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j$

즉 $G = X X^\top$ (X shape (N, D) → G shape (N, N)).

성질

• 대칭: $G_{ij} = G_{ji}$
• 대각 성분은 각 벡터의 제곱 노름: $G_{ii} = \|x_i\|^2$
• 양의 준정부호 (모든 고유값 ≥ 0)
• rank ≤ min(N, D)

어디에 쓰이나

• SVM 커널 트릭 — 선형 내적을 커널 함수로 바꿔 비선형 분리
• Neural Style Transfer — feature map의 Gram 행렬로 스타일 표현
• 가우시안 과정 — 공분산 행렬의 기본 형태

과제

함수 gram_matrix(X) 를 완성하세요.

• X shape (N, D) → 반환 (N, N).
• X @ X.T 한 줄.

테스트 케이스