Log-Cosh 손실

23번 Huber 의 응용. Huber는 임계값 δ 에서 1차 미분만 연속 (2차는 꺾임). Log-Cosh 는 모든 구간 매끄럽고 2차 미분도 연속 한 부드러운 대안:

$L_{lc}(e) = \log(\cosh(e))$

배치 평균:

$\text{log\_cosh}(\hat{y}, y) = \frac{1}{N} \sum_i \log\!\big(\cosh(\hat{y}_i - y_i)\big)$

근사적 거동

• 작은 $e$ : $L \approx \tfrac{1}{2} e^2$ (MSE 와 유사)
• 큰 $|e|$ : $L \approx |e| - \log 2$ (MAE 와 유사)

Huber와 비슷한 하이브리드 이점 을 임계값 파라미터 없이 얻습니다. XGBoost 의 reg:logistic 계열에서 종종 쓰임.

수치 안정

$\cosh(e) = (e^e + e^{-e}) / 2$ — 큰 $|e|$ 에서 오버플로우. 안전하게 계산하려면: $\log\cosh(e) = |e| + \log(1 + e^{-2|e|}) - \log 2$

과제

함수 log_cosh_loss(y_pred, y_true) 를 완성하세요.

• 반환: Python float (평균).
• 작은 입력에서는 np.log(np.cosh(e)) 도 충분함.
• 도전: 극단 입력에서 nan 안 나오게 안정식 사용.

테스트 케이스

#	이름	검증
1	완벽 예측 → 0	[1,2,3] 일치
2	작은 오차 ≈ MSE/2	오차 0.1 → ≈ 0.005
3	대칭	L(e) = L(-e)
4	큰 오차 선형적	오차 10 → ≈ 9.307
5	항상 ≥ 0	임의 데이터