Silhouette Score [medium]

v1 Inertia 는 $k$ 가 커질수록 무조건 감소 → "엘보" 를 눈대중으로 찾아야 함. 실루엣 (Rousseeuw 1987) 은 한쪽으로 편향 안 된 정규화된 지표:

각 점 $i$ 에 대해:

• $a(i)$: 같은 클러스터 내 다른 점들과의 평균 거리 (cohesion).
• $b(i)$: 다른 클러스터 각각 에 대한 평균 거리 중 최소값 (separation).
• $s(i) = \dfrac{b(i) - a(i)}{\max(a(i), b(i))}$

$s(i) \in [-1, 1]$, 1 에 가까울수록 "자기 클러스터 내부에 잘 뭉쳐있고 다른 클러스터와 멀다".

Silhouette Score = 전체 점에 대한 $s(i)$ 평균.

특수 케이스

• 클러스터에 혼자 있는 점 ($|C_i| = 1$): 정의상 $s(i) = 0$.
• $k = 1$: 비교할 다른 클러스터 없음 → 정의 불가 (보통 오류 발생).

직관

• 클러스터 내부 응집이 타이트하고 클러스터 간 간격 넓음 → $a \ll b$ → $s \approx 1$.
• 경계에 있는 점 → $a \approx b$ → $s \approx 0$.
• 잘못 배정된 점 → $a > b$ → $s < 0$.

Elbow 와 달리 $k^*$ 를 실루엣 argmax 로 직접 선택 가능.

과제

함수 silhouette_score(X, labels) 를 완성하세요.

• X shape (N, D), labels shape (N,) 정수.
• 반환: Python float.
• 효율 힌트: 거리 행렬 D = ((X[:,None]-X[None,:])**2).sum(-1)**0.5 한 번 계산 후 마스킹.
• |C_i| = 1 인 점은 $s(i) = 0$ 처리.

테스트 케이스

#	이름	검증
1	반환 Python float
2	완전히 분리된 2 블롭 → s ≈ 1
3	완전 혼합 (랜덤 라벨) → s ≈ 0
4	단일 클러스터 (모두 같은 라벨 + 혼자 있는 점 혼재) 엣지
5	sklearn silhouette_score 와 일치
6	k 증가 시 적절한 k 가 최고 점수 받음
7	값 범위 [-1, 1]