Weighted 1D Linear Regression [medium]

v1 1D 선형회귀 는 모든 점을 동등하게. Weighted Least Squares (WLS) 는 샘플별 신뢰도/중요도가 다를 때:

$\min_{w, b} \sum_i c_i (w x_i + b - y_i)^2$

$c_i \ge 0$ 은 샘플 $i$ 의 가중치. Closed-form:

$\bar{x}_w = \frac{\sum c_i x_i}{\sum c_i}, \quad \bar{y}_w = \frac{\sum c_i y_i}{\sum c_i}$ $w = \frac{\sum c_i (x_i - \bar{x}_w)(y_i - \bar{y}_w)}{\sum c_i (x_i - \bar{x}_w)^2}, \quad b = \bar{y}_w - w \, \bar{x}_w$

언제 쓰이나

• 이분산(heteroscedastic) 노이즈: 측정 오차가 샘플마다 다름 → $c_i \propto 1/\sigma_i^2$.
• Importance sampling 보정.
• Robust regression 의 반복 재가중 (IRLS) 한 스텝.

주의

• 분모가 0 (모든 $c_i x_i$ 가 같은 값) — 분산 0 → 해 없음. 이 문제는 정상 입력 가정.
• $c_i = 1$ 균등이면 v1 과 완전히 동일.

과제

함수 fit_weighted(x, y, c) 를 완성하세요.

• x, y, c shape (N,), $c_i \ge 0$.
• 반환: (slope, intercept) — Python float 튜플.
• 루프 금지. 벡터 연산만.

테스트 케이스

#	이름	검증
1	반환 타입 (float, float)
2	$c=1$ → v1 결과와 일치
3	한 점만 가중치 ↑ → 그 점 통과 쪽으로 기울기
4	가중치 0인 점은 무시	이상치에 c=0 → 깨끗한 fit
5	손계산 3점
6	루프 금지