K-dim PCA + Explained Variance [medium]

v1 PCA-1D 은 최대 분산 축 1 개만. 실제로는 $k$ 개 성분을 뽑아 시각화 (k=2) 나 특성 감소 (k ≪ D) 를 하고, 얼마나 많은 정보를 보존했는지 정량화가 필요.

알고리즘

1. 중심화: $X_c = X - \bar{X}$
2. 공분산: $\Sigma = \tfrac{1}{N} X_c^\top X_c$
3. $\Sigma = V \Lambda V^\top$ (고유값 내림차순 정렬)
4. Top-k 성분: $V_k = V[:, :k]$
5. 투영: $Z = X_c V_k$ (shape (N, k))
6. 설명된 분산 비율: $\dfrac{\lambda_i}{\sum_j \lambda_j}$

Explained Variance Ratio

• 각 성분이 전체 분산의 몇 %를 담고 있는지.
• 합이 1 (모든 성분을 쓰면 전부 보존).
• 누적합을 보면 "95% 분산 보존하려면 몇 개 성분 필요" 같은 실용적 판단 가능.

부호 모호성

$v$ 와 $-v$ 는 같은 축 → 채점은 부호 무관. 하지만 같은 성분 내에서 z 와 v 의 부호가 일관되어야 ($z = X_c v$).

과제

함수 pca_k(X, k) 를 완성하세요.

• 반환: (components, projections, explained_variance_ratio)
  • components: shape (k, D) — 각 행이 단위 고유벡터, 고유값 내림차순.
  • projections: shape (N, k) — 데이터를 top-k 축으로 투영.
  • explained_variance_ratio: shape (k,) — 각 성분의 분산 비율.
• 힌트: np.linalg.eigh 은 오름차순 → 뒤에서부터 k 개.

테스트 케이스