RoPE (Rotary Position Embedding) [medium]

v1 sinusoidal PE 는 임베딩에 덧셈. RoPE (Su et al. 2021, LLaMA/Mistral/Qwen 표준) 는 회전을 적용:

공식

벡터를 짝수/홀수 인덱스로 짝지어 2D 평면에서 회전. 위치 $m$, 페어 $(x_{2i}, x_{2i+1})$, 각도 $\theta_i = 10000^{-2i/d}$:

$\begin{pmatrix} x'_{2i} \\ x'_{2i+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(m\theta_i) & -\sin(m\theta_i) \\ \sin(m\theta_i) & \cos(m\theta_i) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{2i} \\ x_{2i+1} \end{pmatrix}$

왜 덧셈보다 좋은가

1. Norm 보존 (회전은 isometry) — 스케일 손상 없음.
2. Relative encoding 자연 내재: $\langle \text{RoPE}(q, m), \text{RoPE}(k, n) \rangle$ 이 $n - m$ 만 의존.
3. 추가 파라미터 0, extrapolation 잘 됨 (학습보다 긴 컨텍스트도 동작).

구현

• pos shape (L, 1), theta shape (d/2,) → angles = pos · theta shape (L, d/2).
• cos, sin 각각 (L, d/2) 로 broadcast.
• out[:, 0::2] = x_even * cos - x_odd * sin
• out[:, 1::2] = x_even * sin + x_odd * cos

과제

함수 apply_rope(x, base=10000.0) 를 완성하세요.

• x shape (L, d), d 짝수.
• 반환 shape (L, d).

테스트 케이스