Bias-corrected EWMA (Adam 스타일)

70번 EWMA 는 초기값 $y_0 = x_0$ 로 시작했지만, Adam 옵티마이저 는 $y_0 = 0$ 으로 시작하기 때문에 초기 스텝에서 값이 0 쪽으로 편향 됩니다:

$y_t = \beta \cdot y_{t-1} + (1 - \beta) \cdot x_t, \quad y_0 = 0$

$t=1$: $y_1 = (1-\beta) x_1$ — $x_1$ 에 비해 작음. 지수 가중 합이 $\sum_{k=1}^t (1-\beta)\beta^{t-k} = 1 - \beta^t$ 뿐이기 때문.

편향 보정

$\hat y_t = \frac{y_t}{1 - \beta^t}$

• $t$ 가 작을 때 분모 $< 1$ → $\hat y_t$ 를 키워줌.
• $t \to \infty$: 분모 $\to 1$ → 보정 없음.

이게 Adam의 $\hat m_t = m_t / (1 - \beta_1^t)$ 와 $\hat v_t = v_t / (1 - \beta_2^t)$ 수식의 정체.

과제

함수 ewma-v1_bias_corrected(x, beta) 를 완성하세요.

• 1D 배열 x, 스칼라 $\beta \in (0, 1)$.
• 각 $t = 1 \dots T$ 에 대해:
  • $y_t = \beta \, y_{t-1} + (1-\beta) \, x_t$ (초기 $y_0 = 0$)
  • $\hat y_t = y_t / (1 - \beta^t)$
• 반환: 길이 $T$ 의 $\hat y$ 배열.

테스트 케이스

#	이름	검증
1	첫 값 = x[0]	bias 보정의 핵심
2	상수 신호 → 상수 출력	정상상태에서 bias 없음
3	β=0 → x 그대로	smoothing 없음
4	t→∞ 에서 일반 EWMA 와 수렴
5	shape 유지