Multivariate Polynomial Features [medium]

v1 단변량 다항 은 1D. 실무에서는 여러 특성 간 상호작용 까지 포함한 다항 확장이 중요. 예: $D=2$, degree=2:

$[1, x_1, x_2, x_1^2, x_1 x_2, x_2^2]$

상호작용 항 ($x_1 x_2$) 이 "서로 다른 특성의 곱" 을 표현 → 선형 모델이 비선형 상호작용 학습.

차수 공식

$D$ 개 특성에 총 차수 $\le d$ 의 multi-index $(\alpha_1, \ldots, \alpha_D)$ 개수:

$\binom{D + d}{d}$

각 feature 는 $\prod_j x_j^{\alpha_j}$.

• $D=2, d=2 \to \binom{4}{2} = 6$
• $D=3, d=2 \to \binom{5}{2} = 10$
• $D=10, d=3 \to 286$ — 차원 폭발 조심

순서 규칙 (sklearn 호환)

Multi-index 들을 총 차수 오름차순, 같은 총 차수면 사전식(lex) 정렬. Bias 제외 시 총 차수 1 부터 시작.

• $D=2, d=2, \text{bias}$ 포함: [(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)]

과제

함수 polynomial_features_multi(X, degree, include_bias=True) 를 완성하세요.

• X shape (N, D).
• degree: 정수 ≥ 0.
• include_bias: True 면 차수 0 (상수 1) 포함.
• 반환: shape (N, K) — K = C(D+d, d) (bias 포함) 또는 C(D+d, d) - 1 (bias 제외).
• 힌트: itertools.combinations_with_replacement 로 자연스러운 순서 생성.

테스트 케이스

#	이름	검증
1	shape (N, C(D+d, d)) (bias 포함)
2	include_bias=False 시 K = C(D+d, d) - 1
3	D=1 경우 v1 polynomial_features 와 일치
4	모든 개별 차수 열 존재 ($x_1, x_2, ..., x_D$)
5	상호작용 항 포함 ($x_i x_j$)
6	숫자 검증: D=2, d=2, x=[2,3] → [1,2,3,4,6,9]
7	sklearn PolynomialFeatures 와 일치